数学家分享10个节日脑筋急转弯的解决方案

以下是对节日数学测验定于12月23日。希望你喜欢。

谜题1：你会获得九枚外观一模一样的金币。你被告知其中一枚是假币，这枚硬币比真币轻。用一套老式天平秤，你需要多少次称重才能判断哪枚是假币？

解决方案：你只需两次称重即可完成：

（1）将九枚硬币分为三组，每组三枚，并从其中两枚中选出相互称重。如果其中一组比另一组更轻，那么伪币就是这三种硬币中的一种。如果两组硬币重量相同，那么假币就在三枚未称重的硬币中。

（2）现在取有假币的一组，称重其中两枚硬币。如果其中一个较浅，那就是假的。如果重量相同，那么假币就是第三枚。

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谜题2：你被传送回过去，帮忙做圣诞晚餐。你的任务是烤圣诞派，但你只有两个定时器：一个正好四分钟，一个正好七分钟。你怎么能准确计时十分钟？

解决方案：这个谜题有多种答案，但假设厨师想让你尽快做好这个派，以下是做法：

- 同时启动两个计时器。

- 四分钟计时器结束后，七分钟计时器还有三分钟。这时，把派放进烤箱。

- 当七分钟计时器剩余的三分钟结束后，将七分钟计时器翻转。

- 让七分钟的计时器完整播放，然后立刻把派拿出来。派在烤箱里正好放了十分钟。

谜题3：你现在负责分配热红酒，目前装在两个满满的十升桶里。厨师递给你一瓶五升装的瓶子和一瓶四升装的，都是空的。他命令你每瓶装满三升葡萄酒，绝不浪费一滴。你怎么能这样？

解决方案：这里有一个11步的解决方案（见下表），记录每个桶和每个瓶子中的热红酒数量。B1和B2是两个十升桶;B5和B4分别是5升和4升瓶装。

注：你可能找到了比我更快的解决方案，但这是我能想到的！

谜题4：假设圣诞节有100天。在n-第一天，你会收到£n作为礼物，首日1英镑，最后一天100英镑不等。你能计算出你得到的总金额吗？而不必费力地把所有100个数字加在一起？

解决方案：当数学老师向卡尔·弗里德里希·高斯提出这个问题时，这位初露头角的数学家据说做了如下计算：

设 s 为前 100 位数字的和。那么我们可以写：s = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

但我们也可以反过来写：s = 100 + 99 + 98 + ... + 4 + 3 + 2 + 1

如果我们现在逐项垂直添加这两个方程，我们看到左边是 s + s = 2s。

右侧，再次纵向相加，每两项的和总是相同，即101（1 + 100,2 + 99，依此类推）。总共有100项——所以右侧总和的简单计算是100 * 101 = 10,100。

因此：2s = 10,100，s = 5,050。你总共获得的奖金是5,050英镑。

谜题5：这里有一串圣诞节的数字。序列中的前六个分别是：9、11、10、12、9、5 ......（注：在某些版本中，第五个数字是11。）这个序列中的下一个数字是什么？

解决方案：这个顺序是圣诞节12天内连续礼物中字母的数量。所以答案是5，天鹅。以下是完整名单：

鹧鸪（9个）、斑鸠（11个）、法国母鸡（10个）、鸣叫鸟（12个）、金戒指（9个，唱“golden”的11个）、鹅（5个）、天鹅（5个）、女仆（5个）、女士（6个）、领主（5个）、风笛手（6个）、鼓手（8个）。

注意：这看似非数学难题，但数学——更广义上，批判性和创造性思维——部分依赖于发现起初看似牵强的模式。二战期间，盟军破译总部布莱切利园的招募部分基于解决神秘填字游戏.

谜题6：以下100条陈述中，哪一条是唯一正确的？

• 这份清单中只有一句是错误的。
• 这份清单中只有两句是错误的......依此类推，直到：
• 这份清单中有99条是错误的。
• 这份清单中有正好100条是假的。

解决方案：这份清单中只有第99条是真的。由于有100个命题，且第n个命题断言列表中恰好n个命题为假，这只能在n = 99时成立。

谜题7：你和你的朋友亚瑟、鲍勃戴着红色或绿色的圣诞帽。没人能看到自己的帽子，但你们都能看到另外两个。亚瑟和鲍勃的帽子都是红色的。

你们都被告知至少有一顶帽子是红色的。亚瑟说：“我不知道我的帽子是什么颜色。”然后鲍勃说：“我不知道我的帽子是什么颜色。”假设你的朋友们逻辑无懈可击，你能推断出你的圣诞帽是什么颜色吗？

解决方案：你的帽子一定是红色的。如果你的帽子是绿色的，那么亚瑟和鲍勃都会看到一顶绿色和一顶红色帽子。所以当亚瑟说他不知道帽子的颜色时，鲍勃立刻推断出他的帽子是红色的。但因为鲍勃不知道自己帽子的颜色，他一定看到了两顶红帽子，所以你可以推断你的帽子是红色的。

谜题8：你的圣诞树下有三个箱子。一个装有两个小礼物，一个装两块煤，一个装着一个小礼物和一块煤。每个盒子上都有标签显示里面的内容——但标签混淆了，所以目前每个盒子上都有错了标签。

你被告知，你可以伸手从一个盒子里取出一个物品。你应该选择哪个盒子，才能切换标签，使每个标签都能正确对应盒子的内容？

解决方案：由于所有盒子的标签都不对，你知道如果你打开标注为一个小礼物和一块煤炭的盒子，你会看到两个小礼物或两块煤炭。

假设你打开它，看到两个小礼物。然后必须在这个盒子上贴上两个小礼物的标签。而且你也知道每个盒子最初标签都不对，那么一份小礼物和一块煤炭的标签应该贴在现在标有两块煤炭的盒子上。最后，这两片煤炭标签属于原本标有两份小礼物的盒子。

谜题9：厨房里有一升的橙汁和一升的苹果汁。杰克往苹果汁瓶里倒一汤匙橙汁，然后搅拌均匀。现在吉尔从那瓶苹果汁瓶里取了一汤匙液体，放回橙汁瓶里。现在苹果汁瓶里的橙汁更多了，还是橙汁瓶里的苹果汁更多了？

解决方案：它们是一样的。这是一个很好的“不变性”例子——这是数学中经常出现的术语。

经过大量添加果汁和搅拌，苹果汁瓶中的橙汁量必须取代了原本苹果汁瓶中的苹果汁，因为每瓶液体的量仍然是一升（保持不变）。

这个解释初读时可能会让人觉得不满意。但利用不变性的能力可以让你推断出这些数值必须相同，而无需计算。

谜题10：在圣诞老人的家乡，所有纸币一面印有圣诞老人或圣诞夫人的画像，另一面印有礼物或驯鹿的图案。一位年轻的小精灵在一张桌子上放置了四个便条，显示以下按顺序排列的图片：

圣诞老人 | 圣诞夫人 | 现状 |驯鹿现在，一位年长且更睿智的小精灵告诉他：“如果圣诞老人在纸条的一面，礼物就一定在另一面。”年轻精灵必须翻阅哪些笔记来确认年长精灵所说的是否属实？

解决方案：首先，年轻的小精灵应该翻出写有圣诞老人的钞票。如果对面没有礼物，那年长的精灵就是在撒谎。接下来，年轻的小精灵应翻出驯鹿钞票，确认圣诞老人不在另一面。同样，如果圣诞老人在另一边，年长的精灵就是在撒谎。

可能会很想把现在的钞票交出来。但年长的小精灵只说“如果是圣诞老人，那就在场”，这并不意味着“如果在，那就圣诞老人”。所以，无论圣诞老人还是圣诞夫人在这张钞票的另一面——也无关紧要，因为年长的小精灵对那些钞票没有提起。

额外谜题解法

圣诞老人乘坐雪橇从格陵兰以每小时30英里的速度前往北极，然后立即以每小时40英里的速度从北极返回格陵兰。圣诞老人整个旅程的平均速度是多少？

解决方案：这个谜题或许是心理学家的一个例子丹尼尔·卡尼曼叫做《思考快与慢》。我们快速思考的系统可能会说“取平均值”，所以我们会猜测35英里每小时。这是合理的答案，但错误。

我们那套较慢的思维系统——使用起来费力，需要代数和批判性思维等工具——在这里是必需的。首先，让我们设置一些变量：

- 设d为格陵兰到北极点的距离。

- 设t₁为出发旅程所耗时间。

- 设 t₂ 为返回时间。

使用标准公式“速度=距离除以时间”，我们可以说：

30 = d/t₁，40 = d/t₂

重新排列这些方程，我们还知道t₁ = d/30，t₂ = d/40

因为圣诞老人往返的距离相同，他的总行程是2D。而整个旅程的平均速度就是这个总距离除以总时间：2d/（t₁ + t₂）

结合以上所有方法，我们可以说圣诞老人旅程的平均速度是2d/（d/30 + d/40）

现在，（d/30 + d/40） = （4d/120 + 3d/120） = 7d/120

所以圣诞老人的平均速度 = 2d / （7d/120） = 240/7 = 34.3

在这个方程中，'d '相抵消。这意味着我们可以在不知道距离或圣诞老人旅程所需时间的情况下，推算出旅程的平均速度。这就是代数的力量：它让你能够使用和作量，即使你不知道这些量是什么，也能把它们当作占位符。

答案是圣诞老人的平均速度是每小时34.3英里。

尼尔·桑德斯数学科学系高级讲师，伦敦大学圣乔治市

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