数学研究适合今天吗?其中任何一个都适用吗?

让我们谈谈 2007 年的金融危机和热带几何。(我最初是通过 Quora 了解到这种联系的,感谢回答[1]经过Vamsi Pritham Pingali.)

这场危机的确切原因很复杂,经济学家会更好地描述。然而,发生的关键事情之一是美国的房价突然暴跌,带走了由这些房屋的抵押贷款支持的任何金融工具(例如捆绑贷款组合)的价值。后一种影响不再只是美国的问题——它是整个全球金融市场的危机,因为银行和其他金融机构突然发现自己濒临破产。

由此产生的问题之一是严重的信贷紧缩——从银行获得贷款变得更加困难。对此,政府可能的解决方案是购买高风险资产,例如上述抵押贷款支持证券,或以这些高风险资产作为抵押提供贷款。这将为银行提供继续提供贷款所需的资金。

2007年秋天,英格兰银行试图实施这种解决方案:他们想以这类有毒资产作为抵押提供贷款。问题在于准确确定他们必须提供的费率;有许多不同的机构涉及许多不同种类的资产,因此不可能给出“一刀切”的定价类型。因此,银行决定进行拍卖。在四次尝试失败后,当时的银行行长联系了牛津大学 Edgeworth 经济学教授 Paul Klemperer,看看他是否可以设计一个有效的系统。重要的限制之一是这次拍卖必须有效快速地,只需几分钟——否则,对其中一些有毒资产的估值可能会影响市场对其他一些资产的估值。

这促使 Klemperer 教授发明了产品组合拍卖[2],至今仍被英格兰银行广泛使用[3],并且也已在其他途径中得到采用和扩展。此次拍卖背后的基本理论由 Paul Klemperer 和 Elizabeth Baldwin 在他们的合着论文中得到了适当的发展和概括分析需求的热带几何学.

这是一个很好的介绍这个帐户中的另一个大玩家:热带几何[4].

热带几何是一个非常年轻的数学领域,直到 1990 年代后期才真正巩固,并且许多非常重要的工作始于 2000 年代。(如果你读到这篇文章并心想“那不是年轻的——那是 20 年前的事!”,请考虑在学校里,你仍然在学习 2000 多年前发现的数学,除非你上大学,否则你不到 200 年前,我真的不会学到任何东西。在数学世界里,20 年是一闪而过。)我很偶然地遇到了它——当我在读研究生时,山姆佩恩[5]在那里,他有一个相当强大的热带几何组。当时我对代数几何知之甚少(我仍然知之甚少,但当时我知道的更少)所以当时对我来说似乎是深奥的。然而,基本面其实并没有那么难。

我们首先定义热带半环.作为一个集合,这是实数的集合[数学]\mathbb{R}[/math], 和...一起[数学]-\infty[/数学].我们在这个集合上定义了两个操作:

[数学]\begin{align*} x \oplus y &= \max\{x,y\} \\ x \otimes y &= x + y。\end{align*} \tag*{}[/math]

这些运算的行为与实数上加法和乘法的通常定义非常相似:

  1. [数学]\oplus[/数学][数学]\otimes[/数学]联想的: 对所有人[数学]x,y,z[/数学][数学]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[数学]x \oplus (y \oplus z) = (x \oplus y) \oplus z[/math][数学]x \otimes (y \otimes z) = (x \otimes y) \otimes z[/math].
  2. [数学]\oplus[/数学][数学]\otimes[/数学]身份[数学]-\infty[/数学]是加性恒等式和[数学]0[/数学]是乘法恒等式,也就是说对于所有[数学]x[/数学][数学]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[数学]x \oplus -\infty = -\infty \oplus x = x[/math][数学]x \otimes 0 = 0 \otimes x = x[/math].
  3. [数学]\oplus[/数学][数学]\otimes[/数学]可交换的: 对所有人[数学]x,y[/数学][数学]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[数学]x \oplus y = y \oplus x[/math][数学]x \otimes y = y \otimes x[/math].
  4. [数学]\otimes[/数学]分发超过[数学]\oplus[/数学]: 对所有人[数学]x,y,z[/数学][数学]\mathbb{R} \cup \{-\infty\}[/math],[数学]x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)[/math][数学](x \oplus y) \otimes z = (x \otimes z) \oplus (y \otimes z)[/math].

换句话说,热带半环是一个交换半环[6],一个非常非常类似于交换环的对象[7],但我们不坚持每个元素都应该有一个加性逆。(也就是说,对于任何[数学]x[/数学],不需要存在[数学]y[/数学]以至于[数学]x \oplus y[/数学]是加性恒等式——确实,对于热带半环,很容易看出这样的[数学]y[/数学]存在当且仅当[数学]x = -\infty[/数学].)

热带半环在计算机科学中自然出现——我之前实际上写过关于它如何用于计算各种进程的等待时间[8].(好吧,从技术上讲,我使用了分钟那个答案中的热带半环,而不是最大限度我在这里使用的是热带半环,但两者实际上是同构的,所以这并没有太大区别。)“热带”一词实际上是对居住在巴西的计算机科学家 Imre Simon 的致敬。

在代数几何中,热带半环的使用方式略有不同。在经典代数几何中,您可能会得到一个多项式,如[数学]y^3 + 4 x y + x^3 + x + 2[/数学]你可以通过考虑它的零集来研究它,在这种情况下是一条曲线。

更一般地说,这就是所谓的代数变体。几何和代数之间存在着美妙的相互作用——学习一个可以洞察另一个,如果你定义一切都恰到好处,两者之间就真的没有任何区别了。在热带几何中,您定义热带化这样的代数变体。首先,您使用多项式并替换[数学]+[/数学][数学]\times[/数学][数学]\oplus[/数学][数学]\otimes[/数学].所以,在我们的例子中,我们有

[数学]\begin{align*} 4 xy + x^3 + x + 2 &= 4 \cdot x \cdot y + 1 \cdot x \cdot x \cdot x + 1\cdot x + 2 \\ &\rightquigarrow \max\left\{4 + x + y, 1 + 3x, 1 + x, 2\right\}。\end{align*} \tag*{}[/math]

现在,考虑所有无法区分的地方。

在左边,我画了热带曲线对应于[数学]4 x y + x^3 + x + 2[/数学];正是对应的热带函数无法微分的地方。这里还有几个例子。第一,热带化[数学]y^3 + 5 x y + x^3 + 6 x^2 y + 3[/数学].

二、热带化[数学]6 x^3 + 5 x^2 y^2 + 4 y^2 + 3 y^3 + 2 y[/数学].

您可能会注意到热带曲线在许多方面比代数曲线简单得多。令人惊奇的是:古典图片和热带图片之间实际上存在深刻的相互作用。您可以从热带化中学到很多关于曲线的信息,反之亦然。代数几何中有很多很多定理都具有类似的性质;相反,有一些关于代数几何的定理已经通过研究热带图片得到了证明。

可爱——但这与拍卖或经济学有什么关系?为了帮助回答这个问题,这里有一张来自 Baldwin 和 Klemperer 前述论文第 24 页的图表。

嗯,这肯定看起来很熟悉!这是 Baldwin 和 Klemperer 的基本见解:商品需求可以通过热带曲线来描述,您可以使用热带几何的结果来更好地了解潜在的经济学。直接引用他们论文的介绍:

经济学家主要通过关注直接效用函数来考虑代理人的需求。相反,我们首先关注代理需要不同捆绑包的价格空间区域的几何结构。我们的关键观察是,以这种方式划分价格空间精确地创建了几何结构,这是在最近开发的、非欧几里得的代数几何分支中研究的,称为“热带几何”。因此,我们可以使用凸几何和热带几何的工具,例如代理人在价格空间中的需求几何结构与同一代理人在数量空间中的需求之间的对偶性,以获得关于需求的新见解。在价格空间和数量空间中需求的双重表示之间来回移动可以提高我们对两者的理解。

例如,在价格空间中汇总个人需求要容易得多,但将总需求转换回数量空间允许一个强大的定理,该定理包含并扩展了许多关于何时存在竞争均衡的现有结果。

另一方面,如果我们从数量空间中的(直接)估值函数开始,我们将价格空间转换为对偶的方法很快就会揭示需求的关键属性。与使用传统方法相比,使用我们的热带几何视角可以更容易地理解需求理论中的许多现有结果,并且可以更有效地开发。


当然,这只是现代数学如何继续推动物理学、计算机科学、经济学、统计学和其他通常被认为更实用的研究领域的一个例子。我选择这个特别的插图是因为:a)它非常出乎意料,b)我以前很少写过经济学的应用,c)很难想象比一个有助于减少重大金融灾难的负面影响。但我也可以写一篇关于使用算术几何来理解椭圆曲线之间的同构性的文章,以及如何将其视为现代密码系统的抗量子替代的基础。我可以写关于如何使用辫子和代数拓扑为机器人设计更好的寻路方法,或者如何在计算化学和语言识别中开发应用类别理论,或者群体理论结果如何指向如何构建良好的计算机网络(其实我已经有了[9][10][11])。

所以不要试图告诉我现代数学是无用的和深奥的。这显然不是真的。

脚注

宝宝起名

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